3320 25. 9. 2015.
Математика за сваки дан
ПРОБЛЕМ
Зашто је један водитељ телевизијског квиза постао познато име у уџбеницима математике
амислите да сте учесник у телевизијском квизу који има шансу да освоји вредну награду, на пример ауто. Једино што треба да урадите јесте да погодите иза којих од троја врата се он налази. Изаберете једна врата, рецимо врата 1, и чекате да видите јесте ли имали среће... Међутим, водитељ квиза вам не открива одмах да ли сте начинили прави избор, већ отвара врата 3 и показује да иза њих није награда. Затим вам водитељ поставља питање:
„Желите ли можда да се предомислите и да изаберете врата 2?” Да ли бисте се предомислили или бисте се држали свог првобитног избора?
Одговор на ово питање није тако једноставан и данас је извор забуне за многе људе. Заправо ради се о математичкој загонетки из теорије вероватноће чије решавање показује како наша природна интуиција може лако да нас превари, и како често нема утемељење у стварној логици. Интуитивно, човек сматра да му је ионако свеједно за која ће се врата определити. Међутим, тачан одговор на горе изнето питање је: увек се треба одлучити за промену првобитног избора јер се на тај начин повећавају шансе за добитак!
вај математички проблем поставио је Стив Селвин и послао га је часопису „Амерички статистичар” 1975. године. Назвао га је „Проблем Монтија Хола” јер га је подстакао амерички ТВ квиз из шездесетих година „Договоримо се”, чији је водитељ био Монти Хол, у коме се, иначе, учеснику није нудила могућност промене избора. Тако је Монти, уместо избледеле славе и сећања све мањег броја његових некадашњих, данас остарелих гледалаца, претворен у легенду у потпуно другачијем кругу људи, састављеним од математичара, љубитеља логичких загонетки, психолога и осталих „гикова”.
грач на срећу може да у горе приказаној ситуацији побољша сопствене изгледе да из телевизијског студија изађе са новим аутом уколико примени основно знање из математичке теорије вероватноће, стечено у средњој школи. Када је учесник квиза суочен са избором врата 1, 2, или 3, вероватноћа да ће изабрати врата иза којих је награда износи 1/3 за било која изабрана врата. Ако је, нпр. изабрао врата 1, шанса да се иза њих налази ауто износи 1/3, а да се иза њих не налази награда износи 2/3, што је исто што и шанса да се награда налази иза врата 2 или врата 3 (1/3 + 1/3 = 2/3). Затим Монти, који зна где је ауто, отвара рецимо врата 3 да покаже да иза њих није награда. Монти пита потенцијалног срећног добитника жели ли да се предомисли и да сада изабере врата 2. У овој прилици такмичар треба увек да се определи за врата 2, а не да се задржи на свом првобитном избору, зато што је вероватноћа да се награда налази иза врата 2 када је Монти открио да није иза врата 3, 2/3, док вероватноћа да је иза врата 1 остаје 1/3. Променом избора у датим околностима такмичар има два пута већу шансу за освајање аута. Забуна у глави учесника квиза може да настане уколико он помисли да сада бира између врата 1 и врата 2 и да му је шанса у оба случаја по 1/2, то јест да му је свеједно хоће ли или неће променити избор. Међутим, учесник све време бира између троја врата, а Монти му отварањем врата даје додатно обавештење, то јест да награда сигурно није иза врата 3.
а је паметније предомислити се постаје очигледније на аналогном примеру са већим бројем врата. На пример такмичар бира једна од десеторо врата иза којих се налази награда. Вероватноћа да је награда иза изабраних врата је 1/10, а да није иза изабраних врата, односно да је иза једних од преосталих деветоро врата, износи 9/10. Након што је такмичар изабрао рецимо врата 1, а Монти му покаже да иза врата 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10 нема награде и пита га да ли ће сада ипак изабрати врата 2, наравно да ће то такмичар без размишљања учинити, а математика ће рећи да је избор рационалан зато што шанса за згодитак расте са 1/10 на 9/10. Међутим, рационалност избора је релативан појам јер се може догодити и да, упркос малој вероватноћи (1/3 у првом примеру или 1/10 у другом), учесник квиза из прве намирише награду.Читав овај логички проблем има смисла само уз претпоставку да ће Монти Хол увек отворити она врата иза којих се не крије награда, док другачије понашање Монтија води другачијем одговору. На пример ако Монти отвара врата само када је играч првобитно изабрао врата иза којих је награда, не треба се предомислити, или, уколико Монти случајно изабере врата која ће отворити, онда је свеједно да ли ће се такмичар предомислити.
ешење проблема Монтија Хола детаљно је описала Мерилин вос Савант (особа са највећим измереним IQ на свету) у својој колумни у једном америчком часопису, што је изазвало лавину реакција читалаца, од којих су многи били доктори наука, који су, поред јасног математичког и логичког објашњења тврдили да је одговор погрешан. И касније, када би се људи први пут сусрели са проблемом Монтија Хола, увек би долазило до острашћених оспоравања, што је навело многе психологе да покушају да нађу узрок таквом понашању. Неки сматрају да је то зато што се на овом тривијалном примеру показује колико наше процене у свакодневним околностима могу да буду нерационалне, иако смо убеђени у њихову исправност, и да у њиховој основи може бити логика које нисмо ни свесни. Иако је француски математичар Жозеф Бертранд још крајем 19. века поставио математички проблем сличан проблему Монтија Хола, а Мартин Гарднер га је педесетих година прерадио и понудио широј америчкој публици, тек је овако постављен логички задатак постао планетарно познат као омиљен пример у уџбеницима вероватноће, универзитетским предавањима, популарним публикацијама и популарној култури.
Аутор:
Александра Пајдић
Илустровао:
Растко Ћирић - Пријавите се или се региструјте да бисте слали коментаре
